En el ámbito de las matemáticas, específicamente en la teoría de la medida, existe un teorema conocido como el teorema del sándwich de jamón (en inglés: Ham sandwich theorem). Este teorema, también atribuido a Marshall Stone y John W. Tukey, establece un principio fundamental: dadas n objetos en un espacio n-dimensional, es posible dividirlos en dos partes iguales (en función de su volumen) mediante un único hiperplano (n-1)-dimensional.
El nombre "teorema del sándwich de jamón" surge de la aplicación más intuitiva de este teorema cuando n = 3. En este caso, los tres objetos pueden ser representados como los componentes de un sándwich: un trozo de jamón y dos de pan. El teorema garantiza que es posible realizar un único corte (un plano) que divida equitativamente el jamón y el pan en dos mitades idénticas. De manera más general, el teorema afirma que es posible cortar un conjunto de objetos en dos partes de tal forma que cada parte contenga la misma cantidad de cada uno de los componentes originales.
Orígenes históricos y formulaciones del teorema
Según la investigación de Beyer y Zardecki (2004), la primera aparición documentada del teorema del sándwich de jamón, específicamente en el caso tridimensional (d = 3) donde se cortan tres sólidos con un plano, se remonta a un trabajo de Steinhaus y otros autores en 1938. El documento de Beyer y Zardecki incluye una traducción de este trabajo de 1938, en el que se atribuye la formulación del problema a Hugo Steinhaus, y se señala a Stefan Banach como la primera persona en resolverlo, logrando una reducción del teorema de Borsuk-Ulam.
El problema se planteó en dos vertientes:
- Formalmente: "¿Es siempre posible biseccionar tres sólidos, colocados arbitrariamente, con la ayuda de un plano adecuado?"
- Informalmente: "¿Podemos colocar un trozo de jamón bajo un cuchillo de forma que se corte carne, hueso y grasa en dos mitades?"
Posteriormente, en 1942, Stone y Tukey se refirieron a este problema, lo que llevó a que también se le conociera como el "Teorema de Stone-Tukey". Sus trabajos posteriores exploraron versiones en n-dimensionales del teorema en contextos más generales.
El Teorema del Sándwich en Cálculo: El Teorema del Emparedado
En el campo del cálculo, existe un teorema con una denominación similar, el teorema del emparedado, también conocido como teorema del sándwich, teorema de estricción, teorema de acotación, o teorema de compresión. Este teorema es una herramienta fundamental en el cálculo de límites de funciones y es particularmente útil para resolver indeterminaciones.
El teorema establece lo siguiente:
Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo I que contiene un punto a (excepto posiblemente en a mismo). Si para todo x en I (distinto de a) se cumple que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), y si los límites de g(x) y h(x) cuando x tiende a a son iguales, es decir, lim (x→a) g(x) = L y lim (x→a) h(x) = L, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a también es L.
En otras palabras, si una función está "atrapada" entre otras dos funciones que convergen al mismo límite, entonces la función atrapada también debe converger a ese mismo límite.
Aplicaciones y formulaciones del Teorema del Emparedado
El teorema del emparedado tiene diversas formulaciones y aplicaciones:
- Con sucesiones: Si dos sucesiones (a_n) y (c_n) convergen al mismo límite L, y existe una sucesión (b_n) tal que para algún índice N, se cumple a_n ≤ b_n ≤ c_n para todo n > N, entonces la sucesión (b_n) también converge a L.
- Con series: Si dos series convergentes ∑a_n y ∑c_n tienen sumas iguales S, y una tercera serie ∑b_n cumple que para todo n se tiene a_n ≤ b_n ≤ c_n, entonces la serie ∑b_n también converge a S.
El Teorema del Sándwich como metáfora de la mediocridad
En un sentido completamente distinto, el concepto del "sándwich" ha sido utilizado como una metáfora para describir la mediocridad en la sociedad contemporánea. Filósofos y sociólogos, como Alain Deneault, autor de "Mediocracia", analizan cómo la tendencia a la estandarización y la promoción de lo "medio" pueden conducir a una cultura donde la excelencia y la originalidad son suprimidas.
Según esta perspectiva, la "mediocracia" se caracteriza por:
- La promoción de aspiraciones mediocres que resultan en ciudadanos menos críticos.
- La tendencia a normalizar lo inaceptable y lo repugnante, desincentivando el pensamiento crítico.
- La priorización de la conformidad sobre la innovación, penalizando lo disruptivo o lo "extraño".
- La transformación de oficios en empleos estandarizados, donde los profesionales se convierten en "recursos humanos" formateados.
Se argumenta que en un sistema mediócrata, la mediocridad no es sinónimo de incompetencia, sino más bien de una competencia aplicada y servil, desprovista de convicciones. Los poderes establecidos, según Deneault, a menudo prefieren a profesionales mediocres y conformes antes que a individuos originales o comprometidos política y moralmente, ya que estos últimos representan una amenaza para el statu quo.
La crítica se extiende a la política, donde se habla de un "extremo centro" que busca suprimir el debate ideológico, reemplazando conceptos como "ciudadanos" por "partes interesadas" y "debate" por "consenso". Esta sustitución de términos, según los críticos, debilita la democracia y fomenta la pasividad.
Nombres y sinónimos del Teorema del Sándwich (en cálculo)
El teorema del sándwich, en su aplicación al cálculo de límites, es conocido por una gran variedad de nombres, reflejando su importancia y la diversidad de enfoques para su comprensión. Entre ellos se encuentran:
- Teorema del emparedado
- Teorema de encaje
- Teorema de intercalación
- Teorema de la función comprendida
- Teorema de estricción
- Teorema del enclaustramiento
- Teorema de acotación
- Teorema de compresión
- Teorema de las funciones mayorante y minorante
- Teorema del ladrón y los dos policías
- Teorema del bocadillo
- Teorema de comparación
Esta multiplicidad de nombres subraya la universalidad y la aplicabilidad del concepto matemático fundamental que subyace a todas estas denominaciones.